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三次函数的性质以及在高考中的应用举例,高中数学学习资料
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三次函数的性质以及在高考中的应用

三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。
函数的导函数为。我们不妨把方程称为原函数的导方程，其判别式。若，设其两根为，则可得到以下性质：
性质：函数，
若，当时，＝是增函数；当时，其单调递增区间是，单调递减区间是；
若，当时，是减函数；当时，其单调递减区间是，，单调递增区间是。
证明略
推论：函数，当时，不存在极大值和极小值；当时，有极大值、极小值。
根据和的不同情况，其图象特征分别为：

图
性质：函数若，且，则：
；
。
证明略
性质：函数是中心对称图形，其对称中心是。
证明：设函数的对称中心为，。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

化简虻茫?br>上式对恒成立，故
，得
，
。
所以，函数的对称中心是。
可见，＝图象的对称中心在导函数＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点。
下面仅选一些年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。
例浙江设是函数的导函数，的图象如图所示，则＝的图象最有可能是

图

图
解：根据图象特征，不妨设是三次函数。则的图象给出了如下信息：
①；
②导方程两根是，，对称中心的横坐标是；
③在，上；在－，或，上。
由①和性质可排除、；由③和性质确定选。

例江苏函数在闭区间－，上的最大值、最小值分别是
，－，－
，－，－
解：函数的导方程是，两根为和－，由性质得：
，
。
故选。

例天津已知函数在＝±处取得极值。
讨论和－是函数的极大值还是极小值；
过点，作曲线＝的切线，求此切线方程。
解：因为，所以导方程。
因为在＝±处取得极值，所以，是导方程的两根，
所以
解得＝，＝
所以
由推论得是的极大值；＝－是的极小值。
曲线方程为，点，不在曲线上。
设切点为
因为，故切线方程为

点，在切线上，所以

解得，切点为－，－
故所求切线方程为

例湖北已知，函数的图