高等数学空间解析几何.doc

高等数学空间解析几何,2012年1月考研数学一/研政治试题及答案解析
空间解析几何例、表格
平面曲线弧长
曲线：



例求下类平面曲线的弧长
曲线相应于的一段
心形线的全长
摆线的一拱
解：

























向变力沿直线作功液体的水压力





空间解析几何
向量及其线性运算—
向量的坐标表达式及其运算—

向量的数量积的向量积
向量积

性质：

应用：





例、习题，选择题
填空题



例、设
解：
∴



向量积


右手定则
即
性质注意




应用

如
即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。



例、习题，，



例、设知量满足，则
解：∴



平面及其方程
已知平面过点、、，为的法矢量。
点法式：
++一般式：
，、、不全为零。
截距式：，，，分别为平面在轴、轴、轴上的截距。
⊥⊥
∥∥
点、、到平面
的距离为






例、习题
求通过点，且垂直于平面++的平面方程。
解：，已知平面的法矢量

取
所求平面为：
++即：



+例、习题、
解：解法一：设平面方程：
++将点，分别代入得
∴平面方程为：è
解法二：，
取
?+得平面方程：è
设平面方程为++即
∴得∴








直线及其方程
空间直线的一般方程
：
点向式对称式
直线过点、、，为方向向量
则：
参数式：为参数
∥∥
⊥⊥



直线与平面关系
∥π⊥即
⊥π∥
点到直线的距离，的方向向量，为上一点




例、习题、、
解直线即所求平面法向量
由点法式??br>++即è

+设平面方程为，
得
点代入平面，得：
所求平面




平面束方程
直线：
则
为过直线的除平面外的平面束方程


例一平面过直线：，且在轴有截距，求它的方程
解：过直线的平面束方程为
即
据题意
代入平面束方程，得：










习题
例已知两直线方程
，则过且平行的平面方程是
解：
过的平面束方程：
即
由平行∴得
所求方程为：



例已知平面直线

直线和平面是否平行？
如直线与平面平行，则求直线与平面的距离，如不平行，则求与的交点。
求过直线且与平面垂直的平面方程