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三角形的周长和面积平分线.doc
资料评价：
暂无
生成时间：
2021-05-29
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文件大小：
122KB
文件类型：
.doc
浏览次数：
2
建筑论坛：
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vgoos
所属栏目：
学习资料3
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三角形的周长和面积平分线,资料由朗朗家教网http://langlangjiajiao/jy-s312/ 整理
小学想象作文的成功技巧新表格
三角形的周长和面积平分线
例年全国初中数学联赛试题如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的…………………
内心 外心 重心 垂心
分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线下文笔者称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。当该直线不过三角形的顶点时，结论三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心
证明：如图，设为△的一条周积平分线，为△的内心，令△的内切圆半径为
不失一般性，设△的三边长为，，，三边两两互不相等，记，令、两点分别在边、上
∵
+ 连接、、、、，则
又∵
++∴
∴，，三点共线，即经过点
可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线如等边三角形这些周积平分线必过此三角形的内心
而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。下文笔者将侧重于展示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周艹さ闹芑椒窒叩某吖孀魍挤ā?br>
若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。
所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：
、过内心作一直线，使该直线将△的面积平分为两等份如图
作法：①取的中点，作△∽△两个三角形所处的位置犹如绕点发生了位似旋转变换，、、三点在一条直线上；
②再作的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点，使∠∠；
③以为圆心，为半径作圆，该圆与相交于点取与点较远的交点，则由、两点所确定的直线平分△的面积。
注意：①作△时，要让；②以为圆心，为半径作圆，该圆在边上要有交点与点较远的交点必须在线段上，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试
证明：由△∽△可得：……，∠∠，设直线与的交点为，因、、三点共圆，所以⌒对的圆周角∠∠∠∠∠，所以∠∠+∠∠+∠∠，很容易证明△∽△，由此可得，结合式可知道，从而有∠∠，由于点是的中点，所以有：∠即×∠，故直线平分△的面积。
也可由变形成比例式：，所以连结、图略，则∥，再连结得中线图略，利用两平行线之间同底等高的三角形面积相等的原理，易证：，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解：直线平分△的面积了。
那
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三角形的周长和面积平分线
例年全国初中数学联赛试题如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的…………………
内心 外心 重心 垂心
分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线下文笔者称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。当该直线不过三角形的顶点时，结论三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心
证明：如图，设为△的一条周积平分线，为△的内心，令△的内切圆半径为
不失一般性，设△的三边长为，，，三边两两互不相等，记，令、两点分别在边、上
∵
+ 连接、、、、，则
又∵
++∴
∴，，三点共线，即经过点
可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线如等边三角形这些周积平分线必过此三角形的内心
而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。下文笔者将侧重于展示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周艹さ闹芑椒窒叩某吖孀魍挤ā?br>
若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。
所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：
、过内心作一直线，使该直线将△的面积平分为两等份如图
作法：①取的中点，作△∽△两个三角形所处的位置犹如绕点发生了位似旋转变换，、、三点在一条直线上；
②再作的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点，使∠∠；
③以为圆心，为半径作圆，该圆与相交于点取与点较远的交点，则由、两点所确定的直线平分△的面积。
注意：①作△时，要让；②以为圆心，为半径作圆，该圆在边上要有交点与点较远的交点必须在线段上，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试
证明：由△∽△可得：……，∠∠，设直线与的交点为，因、、三点共圆，所以⌒对的圆周角∠∠∠∠∠，所以∠∠+∠∠+∠∠，很容易证明△∽△，由此可得，结合式可知道，从而有∠∠，由于点是的中点，所以有：∠即×∠，故直线平分△的面积。
也可由变形成比例式：，所以连结、图略，则∥，再连结得中线图略，利用两平行线之间同底等高的三角形面积相等的原理，易证：，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解：直线平分△的面积了。
那
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