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中考数学--三角形中心、外心、内心、重心、旁心的知识.doc
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暂无
生成时间：
2021-05-25
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34KB
文件类型：
.doc
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建筑论坛：
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pohtt
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学习资料
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中考数学--三角形中心、外心、内心、重心、旁心的知识。
三角形五心定理陶坤美番茄花园表格
三角形五心定理
目录
三角形五心定理
一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名
重心的性质：
、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为?br> 、重心和三角形个顶点组成的个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
、重心到三角形个顶点距离的平方和最小。
、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为++，++。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
、若是△鞯耐庑模颉稀稀衔窠腔蛑苯腔颉稀恪稀衔劢恰?br> 、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：，，分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。，，；++。重心坐标：+，+，+。
、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高所在直线交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这个点可以得到个四点圆。
、三角形外心、重心和垂心三点共线，且┅。此直线称为三角形的欧拉线
、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的倍。
、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：Δ中，、是两条高，、交于点，连接并延长交于点，求证：⊥
证明：
连接∵∠∠度∴、、、四点共圆∴∠∠
∵∠∠∠∠ ∴Δ∽Δ
∴∴Δ∽Δ∴∠∠∠
又∵∠+∠度 ∴∠+∠度∴⊥
因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
、三角形的三条内角
三角形五心定理陶坤美番茄花园表格
三角形五心定理
目录
三角形五心定理
一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名
重心的性质：
、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为?br> 、重心和三角形个顶点组成的个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
、重心到三角形个顶点距离的平方和最小。
、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为++，++。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
、若是△鞯耐庑模颉稀稀衔窠腔蛑苯腔颉稀恪稀衔劢恰?br> 、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：，，分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。，，；++。重心坐标：+，+，+。
、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高所在直线交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这个点可以得到个四点圆。
、三角形外心、重心和垂心三点共线，且┅。此直线称为三角形的欧拉线
、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的倍。
、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：Δ中，、是两条高，、交于点，连接并延长交于点，求证：⊥
证明：
连接∵∠∠度∴、、、四点共圆∴∠∠
∵∠∠∠∠ ∴Δ∽Δ
∴∴Δ∽Δ∴∠∠∠
又∵∠+∠度 ∴∠+∠度∴⊥
因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
、三角形的三条内角
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