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第五章向量分析 习题讨论:曲线、曲面积分的计算 习题讨论题 1.计算积分：,. 2,计算积分：, 沿任一条不与轴相交的曲线。
3,计算,其中, ,为包围原点的闭曲线。
4,计算,, 其中,外法线为曲面正向。
. 5,设函数满足条件： ,为正整数, 曲面:,与平面,所围区域为,取外法线作正向,计算： . 6,计算,. 从正z轴方向看,的正向为反时钟方向。
7,设是闭域上的调和函数，即满足方程： 。
(1)若,求 , 其中，是矢径，即,, 是的法线方向。
(2)若是任一不包含原点作为内点的闭域,求. (3)若是任一包含原点作为内点的闭域,求 (4)若是任一包含点作为内点的闭域,求:, 其中，是以为起点的矢径，即 ,, 是的法线方向。
参考解答 1.计算积分：,. 解1:作坐标变换，将z轴变成平面的单位法向量,再在平面上取两个正交的向量: 和, 再单位化，以构成新坐标系: , 过渡矩阵由新坐标系三个点在旧坐标系中的坐标形成如下： ,, 因为是正交阵，, 因此， ,即 = = 解二：由对称性可知： . 2,计算积分：, 沿任一条不与轴相交的曲线。
解：由于, = = = =, = 3,计算,其中, ,为包围原点的闭曲线。
解：由可知，仅有原点使. = =, 易于验证： I== == =, 因 , =. 4,计算,, 其中,外法线为曲面正向。
. 解：由对称性可知：, 且, = = = , . 5,设函数满足：,为正整数, 曲面:,与平面,所围区域为,取外法线作正向,计算： . 解：设 在
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