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第五章向量分析
第二十讲Stokes公式 5-5-1Stokes公式 5-5-2旋度及其物理意义 课后作业： 阅读：
第五章
第五节:Gauss公式和Stokes公式pp.173---181 预习：
第五章
第六节:无源场和保守场pp.182---187 作业:习题5:pp.181---182:1,(1),(3),(5),(7);2;3,(3);4,(1);5;6. 5-5Stokes公式 本节专门讨论空间向量场: 5-5-1Stokes公式 定理(Stokes公式):设区域上的连场 是区域内的一块逐片光滑有向曲面, 其边界为逐段光滑的有向曲线(关于有向曲面的边界的定向在上一节已经说明).则有: 或者 = z S (S 0y Dxy x(Dxy 此式称为Stokes公式. 证明:首先设曲面S的方程为 ,, =是的边界; 曲面的边界是. 设的参数方程为 这时的参数方程为 , = = = = = = = **= = =. ** *== =; *== = *= = 　= = = 最后的等式是由于： , ;; ,, , 于是得到Stokes公式. 当由若干片光滑曲面组成时,可以首先对于各片曲 面得到Stokes公式: 然后各式两端分别对于从到求和.注意到在求和的过程中,各 片曲面的边界曲线中不属于的那些曲线要先后沿其正反两个 方向分别积分一次,因而互相抵消.于是就得到 于是Stokes公式得证. 以上用到向量场 的旋度算子： = 5-5-2旋度及其物理意义 设为固定点,为单位向量,是通过点且以为法向量的(有向)平面.在上取一个以为中心,以为半径的圆盘其边界为.积分是向量场沿的环流量. 　　在圆盘上单位面积的平均环流量就是积分 由Stokes公式得到 在上式中令,由被积函数的连续性就得到