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t23 ，谭泽光微积分讲义。
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不定积分讨论题
一、定积分计算
1．设，求.
2．设，试用表示：
（1），
（2）.
3．设，证明：.
4．计算定积分：
二、定积分应用
1．设有曲线族,对于每个正数(),曲线 与曲线交于唯一的一点(其中)， 用表示曲线与曲线围成的区域的面积； 表示曲线与围成的区域的面积.求证在上述 曲线族中存在唯一的一条曲线,使得达到最小值.
2．点是闭曲面： 内的定点。
求以点为球心的球面，使被包含在内的那部分面积 为最大。

三、定积分证明
1．设在上连续，且，（） 问：在上至少有几个零点？并证明你的结论。

2．设是连续偶函数，，且 ，
（1）证明：在上严格单调增；
（2）求使在上取最小值的点；
（3）若对任意，均有，求
3．设在上二阶可导，且，试证： .
4．设在上连续且单调增，证明： .
5．设，且对于满足的任意连续函数,都有 ，证明：必恒为常数. 解答
一、定积分计算:
1．设，求. [解]
2．设，试用表示：
（1），
（2）.
（1）[解]利用换元法：先令，再令，可得
（2）[解]利用分部积分法：取，可得
3．设，证明：. [解]先将左端分部积分，得 再作换元：在
第一个积分中，令，在
第二个积分中， 令，于是，左 再利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，便可得到 左右
4．计算定积分： [分析]积分区间对称，想：能否利用奇、偶函数积分性质？ 令， 故，，即非奇非偶。
令人失望！ 是否还存在一线希望？能否将改造一下？ 令是奇函数 容易！ 即 取，则 [解法一] [解法二] 因为是偶函数，所以是奇函数。
于是有 [解法三]用换元法 令，记：，则有 所以 [注]：解法三的实质是什麽？ 看看一般情况的换元结果：若在上连续，则有 上述结果也可以利用下列命题得到： 定义在上任意函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： 因为，所以有