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t31 ，谭泽光微积分讲义。
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各位老师： 第十四周我开会去了。
学生的课都安排好了。
第十五周的习题课上定积分的应用。
因我在西安开会，星期四才能返校。
现将习题课安排建议如下： 定积分应用以几何应用：求面积，弧长，旋转体体积和面积；导物理应用：主要是求变力作功，图形的重心为主。
这些题目以上练习题的难度为限。
，可选作其中一些。
　　下面的题可选
二、三个作提高题，切不可多用。
　　 　　谭泽光2002,12,6 　　 定积分应用
1．设有曲线族,对于每个正数(),曲线与曲线交于唯一的一点(其中)，用表示曲线与曲线围成的区域的面积；表示曲线与围成的区域的面积.求证在上述曲线族中存在唯一的一条曲线,使得达到最小值. [解]与的关系是：，在区间单调减少。
　　于是反函数存在与是一一对应的。
　　所以,，。
　　问题转化为：作为的函数，在区间有唯一最小值。
， 求导数： ， 　　　于是在区间中存在，使得。
通过计算知， 　　　在区间：上，恒有：。
　　　所以函数在区间有唯一驻点，并在该驻点处达到最小值。

2．点是闭曲面：内的定点。
求以点为球心的球面，使被包含在内的那部分面积为最大。
[解]设为, 当时，有球面面积 当时，两球面与的 　　　　　　交线为圆： 从方程中消去、，得 故是平面上的圆 是一个半径为的球的球冠的面积，该球冠的高为 求：视为"圆上一段弧绕轴旋转而得" 　　因为 　　从而 球冠面积为 对求导得 令，的区间上的唯一驻点 由于， 所以，在唯一驻点处取得最大值, 　所求球面的半径为：.此题要点空间几何知识。

二、定积分证明 1.设在上二阶可导，且，试证：. [证]利用泰勒公式：令，写出在点处的带拉格朗日余项的一阶 泰勒公式 因为，所以有 再利用定积分的性质，得到 因为 故有 2.设在上连续且单调增，证明：. [证法一]利用变上限定积分，利用单调性： 令， 因为在上连续，故有 又因为在上单调增，故有，从而， 在上单调增.又，所以有，即 [证法二]利用定积分的性质：