3
3
式中：w0为顶板中心点下沉量绝对值。
式(11)是采空区中心点位移对时间的微分方程。根据前面的假设，如果由式(11)求解出w0，再根据式(6)便可以得到采空区顶板任意点挠度的表达式，进而得到该点的力学状态。如果给定式(11)的边界条件及初始条件，问题便转化为求解一个典型的二阶常系数非齐次线性微分方程。
研究表明，式(11)通解为如下形式：
b
w0=C1er1t+C2er2t+3 (12)
b2
式中：r1，2=
可通过初始条件确定。
121 024?ab?3 598 5921
++ (9b) ?33?525?ba?11 025ab
；C1，C2为积分系数；
? 580 ? 岩石力学与工程学报 2010年
可以证明β1，β2，β3均大于0，故b1，b2＞0，所以r1，r2均为负数。因此：
b3β3q
= (13) b2Dβ2
可见，顶板最终位移与矿柱流变参数无关。换
w0max=
′ζk2。 受的应力，且σ0=w0
因此，式(12)的初始条件可以写成
w0??0w
t=0t=0
′?=w0
?
? (18) =v0??
言之，在考虑矿柱流变条件下，采空区顶板最终位移等同于无矿柱支撑下顶板自身在相同荷载作用下所产生的位移(见图3)。在实际工程中，这意味着当时间 t 增大到某一时刻时，矿柱流变作用会导
w由边界条件式(18)求解式(12)便可得到积分常数C1，C2，该阶段破坏条件[7]为
[σT]a2h2
(19) w0≥
48D
由于式(12)为非线性方程，求解破坏时间t0可采用二分法等数值方法。
(2) 内部破裂边界条件为
wx=±a=0，wy=±b=0
图3 顶板中心点位移随时间变化曲线示意图 Fig.3 Schematic curve of displacement variation with time at
roof center
?2w?x2
y=±a
?2w=0，2
?y
y=±b
???
? (20) =0 ???
假设挠度的近似解形式为
?(x)=cos
πxπy
cos (21) 2a2b
3 积分常数确定
(1) 顶板在未破坏之前边界条件为
同样可以看出，边界条件自动满足。 设当t=t0时，顶板边界破坏进入内部破裂状态，设顶板破坏连续，即顶板下沉的速度和位移都不发生突变，为方便分析，顶板断裂时重新令时间
wx=±a=0，wy=±b=0
?w?w
=0
，?y?xx=±a
y=±b
?
??
? (14)=0?
? ?
t = 0，则初始条件为
w0
t=0t=0
??0w
=w1??
? (22) =v1??
根据顶板的下沉位移(挠度)和边界约束条件情况，近似假设挠度具有如下解析解的形式[17]：
2
22
2
22
式中：w1，v1分别为第一阶段结束时，顶板中心点下沉位移和速度。
此时破坏条件[8]为
φ(x，y)=
(x?a)(y?b)
(15)
a4b4
显然，w(x，y，z)已满足边界条件。
由图3可见，矿柱在最初受压时，会产生瞬时弹性变形，而此时矿柱有效刚度为k2，产生的初始
′由王金安等[8]的研究可得 位移w0′=w0
441q129
?47???7
?2ζk2+9D?a4+a2b2+b4?? (16)
????
σxmaxσymax
?3π2D?1ν?
=+w(t)[σ]≥T???00
2h2?a2b2??
? (23) 2
3πD?ν1??=+w(t)[σ]≥00T???2h2?a2b2??
σxmax为顶板中点x方向最大拉应力，σymax为式中：
顶板中点y方向最大拉应力。
同理，将式(12)，(23)联立则可求出此阶段所需要时间t2。值得指出的是，此时虽然顶板破裂为多个板块组成的结构而没有形成全局塌陷，但采空区已经处于非常危险的状态，因此可以认为已经失去了稳定性，故稳定时间可以视为2个阶段之和。
初始下沉速度v0根据Burgers蠕变曲线[16]可得
v0=
σ0(η1+η2)
(17)
η1η2
式中：σ0为t = 0时刻采空区中心点对应矿柱所承
第29卷 第3期 王金安，等. 采空区矿柱–顶板体系流变力学模型研究 ? 581 ?
2.45 cm。
(6) 初始下沉速度为
σ(η+η2)
=0.015 cm/h v0=01
4 案例分析
2005年11月6日河北省邢台县尚旺庄石膏矿区发生特别重大坍塌事故[1
，7]
η1η2
。事故造成37人死亡
(7) 根据初值条件式(22)，确定控制方程式(12)的系数：
(井下16人，地面21人)，88间房屋倒塌，8个竖井严重开裂变形受损。地表塌陷面积5.3×104 m2，塌陷区呈300 m×210 m椭圆形，坍塌体积24.3×104 m3。地表移动面积24.5×104 m2，地面最大倾斜为65～95 mm/m(约7°)，最大错动量为1.5 m，塌陷区中部最大下沉8.0 m，诱发地震ML3.1。尚旺庄石膏矿区的5个矿先后建于1984～1998年期间。该矿地表下第四系覆岩厚为145 m，其容重为γ0=21 kN/m3。灰岩厚度为h=38 m，容重γ=24 kN/m3。近似地将采空区视为矩形区域，则坚硬顶板长度为2a = 280 m，宽度2b = 180 m。顶板岩石为灰岩，其弹性模量E = 50 GPa，泊松比ν = 0.25。顶板岩石极限抗拉强度[σ T] = 4.7 MPa。矿柱群的总横截面积占采空区面积的比率λ = 39.16%，矿柱的高度H = 8 m，
w0=C1er1t+C2er2t+
b3?7
=?0.526e?5.913×10t? b2
2.251×10?5e?6.57t+0.527
根据破坏条件，求解该非线性方程，得：长边破坏时，t1≈18个月；短边破坏时，t2≈48个月。
第二阶段初始位移w0 = 1.21 cm，顶板下沉速度为：v = 3.09×105cm/h，顶板中心下沉曲线为
－
w0=C1er1t+C2er2t+
b3?7
=?0.530e?4.89×10t? b2
7.48×10?9e?6.56t+0.527
同理，根据破坏条件求解第二阶段时间为：顶板中心y方向破环时间估算为：t3≈14个月；顶板中心x方向破环时间估算为：t4≈69个月。因此，估算采空区稳定时间为t≈48 + 69 = 117个月。
η2=1.31×109 矿柱流变参数η1=4.50×104 MPa·h，
MPa·h，k1=2.95×105 MPa，k2=17.70×103MPa。
计算过程如下：
(1) 作用在顶板上的总的均布载荷 q=q0+γh=21×145+24×38 = 3.957 MPa (2) 顶板的抗弯刚度
Eh350×109×383
D===228.63×
12(1?ν2)12×(1?0.252)
106 MPa·m3
(3) 均布面力系数：
nAζ==39.16%
4ab(4) t = 0时，顶板中心点下沉位移为 w0
tt=0
5 结 论
(1) 在分析采空区大面积顶板塌陷问题中，矿柱稳定性起决定性作用。在给定的时间段内，任何采空区顶板都会因矿柱流变而产生变形，引起顶板内拉应力的变化。松弛型伯格斯体较为全面地反映了支撑矿柱的流变特性。通过考虑矿柱流变的采空区力学模型分析可知，顶板位移将是一个关于时间
t的指数型函数。在顶板弹性假设前提下，如果不考虑其他因素影响，采空区顶板位移会达到一个稳定值，最终沉降位移等同于无矿柱支撑下顶板在荷
???
=0.095 cm
441=128
q
47?7
2ζk2+9D?4+22+4
abb?a
载下的变形。因此，在实际分析中，如果当顶板形成X型[8]破坏时，顶板失去稳定，便可依此估算采空区稳定时间。
(5) 顶板破坏条件
顶板长边破坏条件：
[σT]b2h2
wa0≥=0.50 cm
48D顶板短边破坏条件：
[σT]a2h2
wb0≥=1.21 cm
48D由式(23)可得：顶板中心沿y方向破坏条件：
(2) 从考虑矿岩流变特性的矿柱–顶板力学体系分析可以看出，即使较为坚硬的矿柱，给定比较长的时间跨度，顶板位移也会达到相当的量值，因此考虑矿岩流变性质的稳定性分析，不仅针对软岩矿柱支撑的采空区，同时在硬岩采空区力学状态随时间变化的分析中同样具有重要意义。
(3) 影响矿柱顶板体系长期稳定性因素较多，尤其是矿岩风化和水作用同样对采空区长期强度有
Wy0 = 1.47 cm，顶板中心沿x方向破坏条件：Wx0 =
? 582 ? 岩石力学与工程学报 2010年
着至关重要的作用。因此，在本文提出的方法基础上，可以同时考虑风化、水作用[18]，对流变参数进行折减来反映这些因素的影响。在矿柱–顶板体系中，矿柱起着至关重要的作用，建立同时考虑顶板和矿柱流变特征模型，将为采空区力学状态分析和稳定时间预测等方面的研究提供新的途径。 参考文献(References)：
[1] 马海涛. “11.6”特别重大坍塌事故矿区采场稳定性三维数值模拟
分析[J]. 中国安全生产科学技术，2007，3(6)：68–72.(MA Haitao. 3D-numerical stability analysis of mined-out area in “11.6”extraordinary serious collapse accident[J]. Journal of Safety Science and Technology，2007，3(6)：68–72.(in Chinese))
[2] 慎乃齐，杨建伟，郑惜平，等. 基于神经网络的采空塌陷预测[J]. 煤
田地质与勘探，2001，29(3)：42–43.(SHEN Naiqi，YANG Jianwei，ZHENG Xiping，et al. Neural network based collapse prediction of mined out area[J]. Coal Geology and Exploration，2001，29(3)：42–43. (in Chinese))
[3] 来兴平，张立杰，蔡美峰，等. 神经网络在大尺度采空区损伤演化
统计与预测中的应用[J]. 北京科技大学学报，2003，25(4)：301–304.(LAI Xingping，ZHANG Lijie，CAI Meifeng，et al. Application of neural network in statistics and perdition of damage evolution of large-scale mined-out area[J]. Journal of University of Science and Technology Beijing，2003，25(4)：301–304.(in Chinese)) [4] MARINO G G，BAUER R A. Behavior of abandoned room and pillar
in Illinois[J]. Geotechnical and Geological Engineering，1989，7(4)：271–281.
[5] GALVIN J M. Coal pillar strength determinations for Australian and
辽公网安备 21020302000024号工信部备案号: 辽ICP备15011726号-5
