潮流计算就是根据给定电力系统的网络结构、参数和决定电力系统运行状况的边界条件，确定电力系统稳态运行状态的方法。电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行状况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统的运行状态:各母线的电压，各元件中流过的功率，系统的功率损耗等等。从数学上讲，潮流计算是要求解一组由潮流方程描述的非线性代数方程组。电力系统潮流计算是电力系统分析中最基本的最重要的计算，是电力系统无功优化的前提与基础，是无功优化最基础的计算工具。
电力系统潮流计算分为离线计算和在线计算两种，前者主要用于系统规划设计和安排系统的运行方式，后者则用于正在运行系统的正常监视及实时控制。本文所研究基于前一种离线分析的计算方法。
潮流方程对于N个节点的电力网络(地作为参考节点不包括在内)，如果网络结构和网络元件参数己知，则流入节点i可用II??YijVj表示示。式中Y是节点
导纳矩阵。以极坐标的形式写出
n
j?1j?1nIi??Yijj??ij??j 电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，计算用的方程如下:
*P?jQ?ViiiIii?1,2,?,N
用极坐标表示，则有:
Pi?jQi?Vi???i?YijVj??ij??j
j?1n
分离出实部虚部可得
Pi??jiYijcos??ij??i??j?
j?1n
Qi???VjViYijsin??ij??i??j?
j?1n
上式为用极坐标表示的最基本的潮流计算方程。
对于N个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量，分别为有功注入P, 无功注入Q、电压模值V、电压相角?。一般说来，每个节点的4个变量中给定两个，求解另两个。哪两个作为给定的变量由该节点的类型决定。对于节点类型的给定应遵循一定的原则，并不是任意指定，当节点类型选择不当时，会出现潮流
不收敛，或者潮流计算结果明显偏离实际系统的运行情况，在潮流运算初始化的时候，可以按照如下情况来指定。
（1）PQ节点（负荷节点）
事先给定的是节点功率(P、Q），待求的是节点电压向量(V、?)。通常变电所母线也就是负荷节点通常都指定为PQ节点，当某些发电机的出力P、Q给定时，也可作为PQ节点。显然，在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ节点。
（2）PV节点（电压控制节点）
给出的参数是节点的有功功率P及电压幅值V，待求量就是该节点的无功功率Q及电压向量的相角?。通常选择有一定无功功率贮备的发电机母线或者有无功补偿设备的变电所母线作PV节点。PV节点上的发电机称之为PV机（或PV给定型发电机）。
（3）平衡节点
给定的运行参数是V和?，，而待求量是该节点的P、Q，因此又称为V?节点。在潮流计算中，这类节点一般只设一个。关于平衡节点的选择，一般选择系统中担任调频调压的某一发电厂（或发电机），或者将外网作为等值机来处理，作为功率平衡的调节节点，必须具备较大的有功和无功调节能力。、
对每个负荷节点我们得到两个等式即1.1和1.2电压控制节点有一个等式，即1.2。
于是我们得到两个非线性方程组或Pi?jQi-Ui?YijUj=0。和方程组
j?i7??n??Pi??jiYijcos??ij??i??j?
j?1? ?n?Q??VVYsin????????ijiijijij?j?1?
抽象成下列非线性方程组
?f1?x1,x2,?,xn??0??f2?x1,x2,?,xn??0（1.1） ???
?f?x,x,?,x??0n?n12
其中fi?i?1,2,?,n?为给定在n维欧氏空间的Rn的中的区域D上的实值函数，引进向量记号，令
????F(x)???????f1(x)??x1??0??f2(x)?????x0?2????f3(x)?,x??x3?,0??0?, ???????????????0??x?????n??fn(x)?
则1.1可写成
F(x)?0（1.2）
若存在x*?D，使得F(x*)?0，则称x*是方程1.2的解。
用迭代法求解1.2，先将2.1化为等价的方程：
x?G?x? 1.3
这里映像G:D?Rn?Rn，例如可取
G?x??x?BF?x?，
其中B?L?Rn?为非奇异矩阵。显然1.3和1。2等价。
高斯赛德而迭代法：
如果x??是变量x的厨师估计值，于是迭代格式变为 k
xk?1?G?xk?
柯西收敛定理：数列 xn 有极限的是：对任意给定的ε>0，有一正整数
N，当m,n>??时，有|xn?xm|<??成立。
又定理柯西收敛定理有，当连续迭代结果的差小于某一特定值时，就得到方程的解。
x?k+1??x?k???
这里?是要求的精度。
定理1.1设x*是方程1.2的解，G:D?Rn?Rn，若存在一个开球S?S?x*,???xx?x*??,??0?D
和常数a??0,1?，使得对一切x?S，有 ??
G?x?-G?x*??ax?x*，
则对任意x0?S，x*是迭代序列xk?1?G?xk?,k?0,1,2,?,的吸引点。 看潮流方程Pi?jQi-Ui?YijUj=0。P，Q已知，给定初值Ui，Uj进行迭代就能
j?i7????
求出所要的值。高斯迭代法需要多次迭代才能获得所要的精度，并且不能保证收敛。
牛顿法
通过逐步线性化可以构造牛顿程序考虑方程F(x)?0，这里我们假定映像F：D?Rn?Rn与开凸集D中二次G-可导，且F''于D连续。设x*?D是方程组的解。x0为x*的初始近似，x0?D，利用泰勒公式，我们有
F?x??F?x0??F'?x0??x?x0???F"?x0?t?x?x0???x?x0?dt 2
01
一般x0充分接近x*，略去高阶无穷小量，因而可用线性方程组
F?x0??F'?x0??x?x0??0
近似代替方程。设方程的解为x1,则
'x1?x0???F?x0???F?x0? ?1
一般的我们有
'xk?1?xk??F??xk???F?xk?,k?1,2,3?. ?1
实际计算可采用下列形式：
xk?1?xk??xk? ?'?F?xk??xk?F?xk??0
从上式可以看出牛顿法每步都要解一个n阶线性方程组。这个方程组的解?xk可看成对前次近似xk的修正量，即xk加上修正量?x就是新的近似xk?1。 牛顿法的局部收敛性定理设F:D?Rn?Rn在x*地开邻域S0?D上F?可导且F'?x*?非奇异，x*为方程F?x??0的解。那么存在闭球S?S?x*,???S0，使映
'F像G?x?xk????xk???F?xk?,在S上有定义，且牛顿迭代法产生的序列?xk?超线?1
性收敛到x*。又若假定
F'?x??F'?x*??ax?x*
其中a?0为常数，则牛顿迭代法至少二阶收敛。
将1.1和1.2在初始估计值处进行泰勒级展开并忽略高阶项，可以得到下列一组线性方程
xk?1?xk??xk?
套用?'有
Fx?x?Fx?0?k???k?k
简写为
由节点导纳矩阵可算出节点的有功功率和无功功率，在分别对?i和i求偏导数渴求的雅克比矩阵各元素，利用公式和设定的电压相角初值计算?P,?Q，?P,
?Q为计划值于计算值的的差叫做功率余额，
?Pi?k??Piish?Pik?Qi
?k?
?Q?Q
ishiki
解得新的节点电压和相角新的节点电压新的估计值为
?i?k?1???i?k????i?k?
i
?k?1?
?i
?k?
??i
?k?
，
代入新的电压相角再迭代，直到满足收敛条件。
计算步骤如下，首先要输入网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点
导纳矩阵。输入节点电压初值Vi(0)和?i(0)置迭代计数k=0。然后开始进入牛顿法的迭代过程。在进入第k+1次迭代时其计算步骤如下
（1）按上一次迭代算出的个节点电压，利用式(2.41)计算各类节点的不平衡
(K)
量?P,?Qi(K),?Vi2(K)； i
（2）按照条件max?Pi(K),?Qi(K),?Vi2(K)??1校验收敛； （3）计算雅克比矩阵的各元素；
（4）解修正方程式求各节点的修正量?Vi(K),??i(K)；
（5）修正各节点电压Vi(K?1)?Vi(K)??Vi(K),?i(K?1)??i(K)???i(K)；
（6）判断是否满足收敛条件。若满足，则停止计算；反之，令k=k+1，进行新一轮迭代。
牛顿法是局部收敛的，也就是说初值选择必须接近真解x*附近，选择初值就成了牛顿法的弱点，估计牛顿法的初值可用康托罗维奇定理 定理：设F:D?Rn?Rn及初始近似值x0满足下列条件，：
''
??Fx存在且F???1??0????x0???
?1
??
?1
??，
?2?在x0地邻域S?x0,??内，F'?x0?存在冰满足李普希兹条件：
F'?x??F'?x*???x?x*,?x,y?S?x0,??。 并且
1
2
??????
??
当牛顿法用于潮流计算时，选择初值变得很容易，在正常运行方式下，其电压标幺值的幅值范围在1附近，节点电压相角在0?附近，在运用上述定理，就可以得
到更加准确地初值，使牛顿法收敛的更快。
牛顿法的改进
1简化牛顿法
牛顿法虽然收敛速度快但是每次迭代都要计算一次矩阵的逆，同时计算n2个偏导数，计算量还是很客观的如果将F'?xk?改为固定的F'?x0?，则只需要计算一次F'?xk?，迭代公式为
'xk?1?xk??F??x0???F?xk? ?1
2修正牛顿法吧m步简化牛顿法组成一次牛顿步，于是得到如下迭代程序
0?xk?xk??1??i??i?1??i?1?'??x?x?FxFx ???kkk?k??mx?xk?1k????
这种方法收敛阶为M+1阶，当M=1时为普通牛顿法，当M?2时这种方法收敛阶更高，收敛速度更快但是计算量更大。
带参数的牛顿法
潮流方程的雅克比矩阵病态或者奇异的时候无法用普通牛顿法进行迭代，这时我们就需要带入一个参数使得雅克比矩阵变成绝对对角占优矩阵，绝对对角占优矩阵式必然有解的。此时得到迭代程序
'xk?1?xk??F??xk???kI??F?xk?，k?0,1,2,?, ?1
称?k为阻尼因子，且?k????,??，其中
2????i???min?Re?i?0?
?2Re?i???2????i???min?Re?i?0? ?2Re?i????
而?i是F'?x*?的特征值，Re?i为?i的实部。
阻尼牛顿法
x?x?ap
其中x为F?x??0的某一近似解， 并设从x出发下一次迭代近似为x，a为阻尼因子a??0,1??，选择参数a的原则是使之满足
Fx?F?x?ap???1??a?F?x?
这里?是一个固定的数，???0,1?。
由下式确定搜索方向P,、
F?x??F'?x?p??'F?x? ??
其中0??'?1??
下面给出阻尼牛顿法的步骤
1：选初值x0?D并计算F?x0?，置k?1,a?1，选精度要求?
2：确定P
3：确定阻尼因子a，如上一步用的阻尼因子比较小那么下一步也不太可能用到
?a如果a在前一步是减小的比较大的阻尼因子可用下式得到a??
?min?1,2a?其他情形
4计算x?x?ap，若x?x??则停止计算
5若x?D或者Fx??1??a?F?x?，则??a?a，并转第四步，否则k?1?k，2
转第二步。
拟牛顿法
类似于简单牛顿法，如果不矩阵的导数或者少计算导数，自然会大大减少计算量，减少编程难度，但是简单牛顿法也就是割线法对单个方程比较成功，对方程组较困难。若能仿照割线法的思路构造出收敛阶高而且计算量小的新算法就有重大意义。
拟牛顿算法如下
?xk?1?xk?Ak?1F?xk?,k?0,1,2,?,??Ak?1?xk?1?xk??F?xk?1??F?xk?
?A?A??A.rank??A??m?1kkk?k?1
这个算法收敛的充要条件是 ?Ak?F'?x*???xk?1?x*???lim?0 k?0xk?1?xk
这个算法中如何构造Ak是重中之重。其中布落伊登提出的算法是你牛顿法的代表。
?xk?1?xk?Ak?1F?xk?,k?0,1,2,?,??T、 yk?Aksk??sk???,k?0,1,2,?,?Ak?1?Ak?T?sk???
其中sk?xk?1?xk，yk?F?xk?1??F?xk?
下面将布落一登方法的计算步骤计算如下
1， 给定初值近似x0及计算精度要求。
2， 给定初始矩阵A0，一般A0?F'?x0?
3， 1?k，；计算F?x0?：
4， 计算sk??AkF?xk?,sk?xk?1?xk: ?1
5， 计算F?xk?1?，若sk??，转8，否则转6
6， 计算yk?F?xk?1??F?xk?，并有布落一登公式计算Ak?1
7， k?1?k，F?xk?1??F?xk?，Ak?1?Ak，xk?1?xk，转4
8， x*?xk?1，结束
你牛顿法可以和参数牛顿法结合起来用，达到扩大收敛范围的作用。
牛顿法的两个缺点一个是初值问题一个是雅克比矩阵计算量大，所以大部分改进算法都是基于改善初值和修正雅克比矩阵的方法。如先用对初值要求不高但收敛性不好的高斯赛德尔算法进行几次迭代在用牛顿法进行迭代，PQ法就是基于修正雅克比矩阵的方法。电力工业的发展已进入一长距离，重负荷，大区域为特点的大电网时代，电网的复杂程度不断提高，潮流计算很容易出现不收敛的情况。这样牛顿法就不能得到潮流方程的解，需要其他方法比如改进牛顿法，最优乘子法，非线性规划法，同伦延拓法。
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